高考中的分段函數

江蘇省海門中學? 陳燕琴 226100

摘要：分段函數是一類重要的函數，能有效考查函數的概念及性質,主要是與分段函數有關的概念、值域、性質，分段函數與方程、不等式、參數、數形結合、應用等知識。近幾年，高考中對分段函數的考查也越來越多，分段函數已經成為高考之“寵兒”。

關鍵詞：分段函數；函數與方程；不等式

一、考查分段函數的求值（值域）問題

例1.（1）（2013年福建卷）已知函數，則-2.

（2）（2013年北京卷）函數的值域為

【評注】直接根據自變量求值（值域）是分段函數中最常見最基本的題型，解題時需注意自變量在不同區(qū)間對應不同的解析式，選擇分段代值（求值域）。

變式訓練1（2012年江蘇卷）設是定義在上且周期為2的函數，在區(qū)間上，

其中.若，則的值為??? .

?解析：∵是定義在上且周期為2的函數，∴，即①。又∵，，∴②。聯(lián)立①②，解得，，

二、考查分段函數的性質

例2.（1）（2012年上海卷）已知函數（為常數）。若在區(qū)間

上是增函數，則的取值范圍是?????

（2）（2013年湖北卷）為實數,表示不超過的最大整數,則函數在上為（　?。?/p>

A．奇函數???????????? B.偶函數????????? C．增函數???????? D．周期函數

【解析】（1）令，則在區(qū)間上單調遞增，而為增函數，所以要是函數在單調遞增，則有，所以的取值范圍是.

（2）當時，，；當時，，；當時，，；畫出簡圖可判斷選項D正確

【評注】分段函數性質也就是對函數的三大性質：單調性、奇偶性、周期性進行考查；在處理分段函數性質問題時，性質的定義是根本、分段分類是通法、圖象則是有效的工具。

三、考查分段函數的不等式問題

例3．（2013年高考課標Ⅰ卷）已知函數，若,則

的取值范圍是________________.

【解析】，由得①

且②.由①可得，；分離參數,可化為恒成立，即,所以；所以綜合①②得

【評注】解與分段函數相關的不等式問題，通常要采用分類討論的方法.

四、考查分段函數的零點（方程）問題

例4（2012年福建卷）對于實數和，定義運算“”：，

設，且關于的方程為恰有三個互不相等的實數根，則的取值范圍是_________________.

【解析】由定義，畫圖，若方程有三個根，則，且當時方程可化為，易知；當時方程可解得，令，且設，則，可判斷在內函數單減，所以。

【評注】 求解與分段函數有關的方程時，需要在分段函數定義域的不同區(qū)間內求解方程。

變式訓練2（2012年天津卷）已知函數的圖象與函數的圖象恰有個交點，則實數的取值范圍是______.解析： 或。

分段函數本身蘊含著分類討論與數形結合的重要數學思想方法，而解方程、不等式有時又伴隨著參數的問題，這也會用到分類討論與數形結合的重要數學思想方法。